Решите, пожалуйста:

xy+y-x-1=0

Дифференциальное уравнение второго порядка.

Это дифференциальное уравнение второго порядка независящее явным образом от неизвестной функции у.
Уравнение может быть понижен с помощью замены: y = z(x), тогда y = z(x), где z(x) - новая неизвестная функция.

Имеем:

$x/cdot z+z-x-1=0|:x// // z+ /dfrac{z}{x} =1+ /dfrac{1}{x}$

имеем линейное неоднородное уравнение. Пусть y = uv, тогда y = uv + uv

$uv+uv+ /dfrac{uv}{x} =1+/dfrac{1}{x} // // // uv+u/bigg(v+/dfrac{v}{x}/bigg)=1+/dfrac{1}{x}$

Имеем 2 этапа:

1) Предполагаем, что второе слагаемое равно нулю
$v+/dfrac{v}{x} =0/,/,/,/,/,/,/, /Rightarrow/,/,/,/, /dfrac{dv}{dx} =-/dfrac{v}{x} // // // -/ln|x|=/ln |v|// // // v=/dfrac{1}{x}$

2) Раз предположили что второе слагаемое равен нулю, то

$uv=1+/dfrac{1}{x} // // /dfrac{u}{x} =1+/dfrac{1}{x} |/cdot x// // // // u=x+1// /dfrac{du}{dx} =x+1// // du=(x+1)dx$

Проинтегрируем обе части уравнения:
$u=/dfrac{x^2}{2}+x +C_1$

Обратная замена:

$z=uv=/dfrac{1}{x} /cdot /bigg( /dfrac{x^2}{2} +x+C_1/bigg)= /dfrac{x}{2} +/dfrac{C_1}{x} +1$

$y= /dfrac{x}{2} +/dfrac{C_1}{x} +1$

Проинтегрируем обе части уравнения

$/displaystyle y= /int/limits {/bigg( /dfrac{x}{2} +/dfrac{C_1}{x} +1/bigg)} /, dx = /frac{x^2}{4} +C_1/ln|x|+x+C_2$ - общее решение

Окончательный ответ: $y=/dfrac{x^2}{4} +C_1/ln|x|+x+C_2$